Graphes, dioïdes et semi-anneaux - Nouveaux modèles et algorithmes

Voici l'ouvrage de référence sur les dioïdes et les semi-anneaux. Unique en son genre, il illustre la richesse de ces structures algébriques par des dizaines d'exemples liés aux disciplines scientifiques les plus diverses. Il met en évidence leurs liens profonds avec les graphes et propose une synthèse de leurs nombreuses applications, dans les sciences fondamentales et les sciences de l'ingénieur :

• résolution d'une grande variété de problèmes de recherche de chemins optimaux dans les graphes ,
• extension des algorithmes classiques de plus courts chemins à des problèmes de cheminement non classiques (plus courts chemins avec contraintes de temps, avec longueurs des arcs dépendant du temps etc.) ,
• analyse des données, classification hiérarchique et analyse des préférences ,
• modèles algébriques du flou et de l'incertain ,
• automatique des systèmes à évènements discrets ,
• résolution d'équations non-linéaires de la physique telles que : Hamilton-Jacobi, équation de Bürgers ,
• développement d'analyses “linéaires” pour des problèmes non-linéaires (analyse MIN-PLUS, analyse MIN-MAX).

De par la diversité des modèles et des méthodes de résolution étudiés, cet ouvrage propose des outils nouveaux applicables à tous les domaines scientifiques. Il est ainsi appelé à devenir un classique.Ce livre s'adresse aux élèves des écoles d'ingénieurs, des 2e et 3e universitaires en informatique et recherche opérationnelle, mathématiques appliquées, automatique , aux professeurs d'informatique, de mathématiques et de physique (niveau maîtrise et DEA) , aux ingénieurs informaticiens et automaticiens , et pour les nombreux exemples et exercices proposés, aux enseignants en mathématiques des lycées universitaires.

Sommaire

Pré-semi-anneaux, semi-anneaux et dioïdes

• Quelques exemples fondateurs
• Semi-groupes et monoïdes
• Monoïdes ordonnés
• Pré-semi-anneaux et pré-dioïdes
• Semi-anneaux
• Dioïdes
• Exercices

Propriétés combinatoires des (pré-)semi-anneaux

• Introduction
• Polynômes et séries formelles à coefficients
• Matrices carrées à coefficients dans un (pré-)semi-anneau
• Bidéterminant d'une matrice carrée
• Bipolynôme caractéristique
• Bidéterminant d'un produit de matrices : une propriété combinatoire des pré-semi-anneaux
• Le théorème de Cayley-Hamilton dans les présemi-anneaux
• Semi-anneaux, bidéterminants et arborescences
• Une généralisation de l'identité de Mac Mahon aux pré-semi-anneaux commutatifs
• Exercices

Topologies des ensembles ordonnés

• Dioïdes topologiques
• Introduction
• La Sup-Topologie et la Inf-Topologie dans des ensembles partiellement ordonnés
• Convergence dans la Sup-Topologie et borne supérieure
• Continuité des fonctions
• Semi-continuité
• Le théorème du point fixe dans un ensemble ordonné
• Dioïdes topologiques
• Les éléments p-stables d'un dioïde
• Résiduation et solutions généralisées
• Exercices

Résolution de systèmes linéaires dans les dioïdes

• Introduction
• Problème du plus court chemin et résolution de système linéaire dans un dioïde
• Quasi-inverse d'une matrice à éléments dans un semi-anneau
• Existence et propriétés
• Algorithmes itératifs pour la résolution de systèmes linéaires
• Algorithmes directs : méthode de Gauss-Jordan généralisée et variantes
• Exemples d'application : problèmes de cheminement dans les graphes
• Exercices

Dépendance et indépendance linéaires dans les semi-modules et les moduloïdes

• Introduction
• Semi-modules et moduloïdes
• Bidéterminant et indépendance linéaire
• Exercices

Valeurs propres et vecteurs propres d'endomorphismes

• Introduction
• Existence de valeurs propres et de vecteurs propres : résultats généraux
• Valeurs propres et vecteurs propres dans les dioïdes idempotents
• Caractérisation des moduloïdes propres
• Valeurs propres et vecteurs propres dans les dioïdes à structure de groupes multiplicatifs
• Valeurs propres, bidéterminant et bipolynôme caractéristique
• Applications en Analyse de Données
• Applications en automatique : anneaux théorie des systèmes dynamiques linéaires dans le dioïde (R Dioïdes et analyses non-linéaires
• Introduction
• Analyse MINPLUS
• Inf-convergences en analyse MINPLUS
• Solutions faibles en analyse MINPLUS et solutions de viscosité
• Solutions explicites d'EDP non linéaires en analyse MINPLUS
• Analyse MINMAX
• La transformée de Cramer
• Exercices
• Répertoire de monoïdes, (pré-)semi-anneaux et dioïdes
• Semi-anneaux et anneaux
• Dioïdes

Bibliographie